Question

已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（-

π

3

，0）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将点(-

π

3

，0)代入函数f（x）的解析式即可求出实数a的值；
（2）根据（1）中的结果f（x）=2sin(x+

π

3

)，再根据周期公式T=

2π

|ω|

计算函数f（x）的最小正周期，利用整体法对x+

π

3

施加限制条件，2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)，解出x的取值范围，即可求出函数f（x）的单调递增区间．

解答： 解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（-

π

3

，0），
∴f（-

π

3

）=sin（-

π

3

）+acos（-

π

3

）=-

3

2

+a×

1

2

=0，
解得a=

3

．
（2）由（1）知f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π，
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)，解得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

 (k∈Z)，
故函数g（x）的单调递增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

] (k∈Z)．

点评：本题主要考查了二倍角公式，三角函数的周期性与单调性，三角函数恒等变换的应用．