Question

已知抛物线E的顶点在原点，焦点为双曲线

x2

2

-4y2=1的右焦点，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知过抛物线E的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|长为12，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由双曲线的方程求出其右焦点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）由题设可知所求直线的斜率存在，设出直线方程后和抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系得到两交点的横坐标的和，由抛物线的定义得到|AB|长，由|AB|长为12求得直线的斜率，从而求得直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由双曲线

x2

2

-4y2=1，得a2=2，b2=

1

4

，
∴c2=a2+b2=2+

1

4

=

9

4

，c=

3

2

，∴右焦点为(

3

2

，0)．
设E：y²=2px，则

p

2

=

3

2

，得p=3．
∴抛物线方程为：y²=6x；
（Ⅱ）当过焦点的直线斜率不存在时，弦为抛物线的通径，长为6，不合题意；
设过焦点的直线为y=k(x-

3

2

)，代入y²=6x，得
k2x2-(3k2+6)x+

9

4

k2=0．
∴由韦达定理得x1+x2=

3k2+6

k2

，
再由抛物线定义知|AB|=x₁+x₂+p=

3k2+6

k2

+3=12，
解得k=±1，
∴所求直线方程为2x-2y-3=0或2x+2y-3=0．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用把直线方程和圆锥曲线方程联立，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系解题，是高考试卷中的压轴题．