Question

已知△ABC的面积为S，且

AB

•

AC

=S
（1）求tanA的值；
（2）若B=

π

4

，c=3，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出tanA的值即可；
（2）由tanA与tanB的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值，进而求出sinC的值，利用正弦定理求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出S．

解答： 解：（1）∵

AB

•

AC

=bccosA，S=

1

2

bcsinA，且

AB

•

AC

=S，
∴bccosA=

1

2

bcsinA，即sinA=2cosA，
∴tanA=2；
（2）∵tanA=2，tanB=1，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

2+1

1-2

=3，
∴cos²C=

1

1+tan2C

=

1

10

，sinC=

1-cos2C

=

3 10

10

，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：b=

csinB

sinC

=

3× 2 2

3 10 10

=

5

，
由tanA=2，得到cos²A=

1

1+tan2A

=

1

5

，sinA=

1-cos2A

=

2 5

5

，
则S=

1

2

bcsinA=

1

2

×

5

×3×

2 5

5

=3．

点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．