Question

若数列1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…，前100项之和为0，则θ的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：直接由等比数列的前n项和公式列式得到

1-(2cosθ)100=0 1-2cosθ≠0

，求出cosθ=-

1

2

，则θ的值可求．

解答： 解：∵1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…为等比数列，首项为1，公比为2cosθ，
由等比数列的前n项和公式可得，
S₁₀₀=1+2cosθ+（2cosθ）²+…+（2cosθ）⁹⁹
=

1-(2cosθ)100

1-2cosθ

=0，
由题意可得，

1-(2cosθ)100=0 1-2cosθ≠0

，
∴2cosθ=-1 即cosθ=-

1

2

．
∴θ=2kπ±

2π

3

，k∈Z．
故答案为：2kπ±

2π

3

（k∈Z）．

点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了三角函数的求值，是中档题．