Question

锐角三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量

m

=（2c，b-a），

n

=（2a+2b，c-a），若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由

m

∥

n

列式得到a²+c²-b²=ac，代入余弦定理求得B；
（2）由B结合三角形内角和可得A+C=

2π

3

，得到C=

2π

3

-A，代入sinA+sinC后由两角和与差的正弦求得取值范围．

解答： 解：（1）由

m

=（2c，b-a），

n

=（2a+2b，c-a），且

m

∥

n

．
得2c（c-a）-2（b-a）（a+b）=0，即a²+c²-b²=ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，B=

π

3

；
（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

．
∴sinA+sinC=sinA+sin(

2π

3

-A)=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)．
0＜A＜

π

2

，

π

6

＜A+

π

6

＜

2π

3

．
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，
∴

3

2

＜sinA+sinC≤

3

．

点评：本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了三角函数的化简与求值，是基础题．