Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）当

a

∥

b

时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，且当x∈[0，

π

2

]时，|f（x）-m|≤2恒成立，求m取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）按照向量平行的性质，得到坐标的关系，求出tanx，然后利用二倍角公式以及基本关系式求之；
（2）利用向量的坐标运算得到f（x），然后化简为一个角的三角函数形式，求f（x）的最值，关键恒成立问题求m的范围．

解答： 解：（1）因为

a

∥

b

时，-sinx=

3

4

cosx，即tanx=-

3

4

，
cos²x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

1-2tanx

tan2x+1

=

1+ 3 2

9 16 +1

=

8

5

；
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinx+cosx，-

1

4

）•（cosx，-1）=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
∵x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，所以

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

∈[

1

2

，

2

+

3

2

]．
当x∈[0，

π

2

]时，|f（x）-m|≤2恒成立，即-2≤f（x）-m≤2，所以m-2≤f（x）≤m+2恒成立，
所以

m-2≤ 1 2 m+2≥ 2 + 3 2

，解得

2

-

1

2

≤m≤

5

2

．
所以m的取值范围为：

2

-

1

2

≤m≤

5

2

．

点评：本题考查共线向量基本定理，向量相等时对应坐标的关系，二倍角的正弦公式、sin²x+cos²x=1以及三角函数式的化简与最值求法，同时考查了恒成立问题的处理方法．