Question

已知一个数列{a_n}的各项是0或1，首项为0，且在第k个0和第k+1个0之间有2^k-1个1，即0，1，0，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，0，…，则前2 015项中0的个数为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由于第k个0和它后面2^k-1个1的个数之和为2^k，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公比的等比数列，该数列的前n项和等于

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．注意到2⁹⁺¹-2＜2015＜2¹⁰⁺¹-2，即可得出．

解答： 解：依题意得，第k个0和它后面2^k-1个1的个数之和为2^k，
按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公比的等比数列，
该数列的前n项和等于

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．
注意到2⁹⁺¹-2＜2015＜2¹⁰⁺¹-2，
因此在题中的数列中，前2 015项中共有10个0．
故答案为：10．

点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、2的幂的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．