Question

如图，已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为l₁，l₂．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．
（Ⅰ）若l₁与l₂的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

|FA|

|AP|

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得∠POF=30°，从而a=

3

b．由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线l的方程为y=

a

b

(x-c)，直线l₂的方程为y=

b

a

x，联立直线l与l₂的方程，解得点P（

a2

c

，

ab

c

），由此入手结合已知条件能求出

|FA|

|AP|

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因为双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
所以双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x．
因为两渐近线的夹角为60°且

b

a

＜1，所以∠POF=30°．
所以

b

a

=tan30°=

3

3

． 所以a=

3

b．
因为c=2，所以a²+b²=4，所以a=

3

，b=1．
所以椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）因为l⊥l₁，所以直线l的方程为y=

a

b

(x-c)，其中c=

a2-b2

．…（5分）
直线l₂的方程为y=

b

a

x，联立直线l与l₂的方程，解得点P（

a2

c

，

ab

c

）．…（6分）
设

|FA|

|AP|

=λ，则

FA

=λ

AP

．…（7分）
因为点F（c，0），设点A（x₀，y₀），则有（x₀-c，y₀）=λ（

a2

c

-x0，

ab

c

-y0）．
解得x0=

c2+λa2

c(1+λ)

，y₀=

λab

c(1+λ)

．…（8分）
因为点A（x₀，y₀）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
所以

(c2+λa2)2

a2c2(1+λ)2

+

(λab)2

b2c2(1+λ)2

=1．
即（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．
等式两边同除以a⁴，得（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²，e∈（0，1），
所以λ2=

e2-e4

2-e2

=-（2-e²+

2

2-e2

）+3≤-2

(2-e)2• 2 2-e2

+3=3-2

2

=（

2

-1）²．…（10分）
所以当2-e²=

2

2-e2

，即e=

2- 2

时，λ取得最大值

2

-1．
故

|FA|

|AP|

的最大值为

2

-1．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．