Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（n∈{N^*}）$，则求{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{{{3^n}-1}}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{2}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{2}{{a}_{n}}$+1），继而得到{$\frac{2}{{a}_{n}}$+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，即可求出答案．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（n∈{N^*}）$，
∴a_n+1a_n+3a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{6}{{a}_{n}}$+2
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{2}{{a}_{n}}$+1），
∵a₁=1，
∴$\frac{2}{{a}_{1}}$+1=3，
∴{$\frac{2}{{a}_{n}}$+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴$\frac{2}{{a}_{n}}$+1=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
故答案为：$\frac{2}{{{3^n}-1}}$

点评 本题考查数列的通项公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．