Question

20．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x+m）在[-1，1]上单调，求m的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的解析式由f（0）=1可求c=1，再由f（x+1）-f（x）=2x构造方程组可求a、b的值，可得答案．
（2）函数y=f（x+m）的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1-2m}{2}$为对称轴的抛物线，若g（x）在[-1，1]上是单调函数，则$\frac{1-2m}{2}$≤-1，或$\frac{1-2m}{2}$≥1，进而可得实数m的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞2x+m恒成立，即x²-3x+1＞m恒成立，令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，求出函数的最小值，可得实数m的范围．

解答 解：（1）设y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
∴c=1且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
∴2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
函数f（x）的表达式为f（x）=x²-x+1．．…（3分）
（2）∵y=f（x+m）=x²+（2m-1）x+1-m的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1-2m}{2}$为对称轴的抛物线，
若g（x）在[-1，1]上是单调函数，
则$\frac{1-2m}{2}$≤-1，或$\frac{1-2m}{2}$≥1，
解得：m∈（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．…（6分）
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立，即x²-3x+1＞m恒成立，
令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，
∴g（x）在[-1，1]上递减，
∴当x=1时，g（x）取最小值-1，
∴m＜-1．…（12分）

点评 本题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，二次函数的单调性，难度不大，属于中档题．