Question

4．若函数$f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象关于点M（{\frac{π}{3}，0}）对称$，且在$x=\frac{π}{6}$处函数有最小值，则a+ω在[0，10]上的一个可能值是3．

Answer 1

分析 由函数解析式结合对称性可得ω=-9-6k，φ=kπ+3π，k∈Z，进一步求得a，可得a+ω=-9-6k，k∈Z，则答案可求．

解答 解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx=$\sqrt{1+{a}^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}sinωx+\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}cosωx）$=$\sqrt{1+{a}^{2}}sin（ωx+φ）$（tanφ=a）的图象关于点M（$\frac{π}{3}$，0）对称，
∴$\frac{π}{3}ω+$φ=kπ，k∈Z，①
又在$x=\frac{π}{6}$处函数有最小值，则$\frac{π}{6}ω+$φ=$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，②
联立①②得，ω=-9-6k，φ=kπ+3π，k∈Z．
∴a=tan（kπ+3π）=0，
∴a+ω=-9-6k，k∈Z．
又a+ω∈[0，10]，∴当k=-2时，a+ω=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查正余弦函数的对称点，对称轴与周期间的关系，即相邻的对称轴及对称点之间相差半个周期等，是中档题．