Question

12．设函数f（x）=x²+3x+3-a•e^x（a为非零实数），若f（x）有且仅有一个零点，则a的取值范围为（0，e）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 令f（x）=0得a=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，设g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，求出g（x）的单调区间和极值，令a=g（x）只有一解得出a的范围．

解答 解：令f（x）=0得x²+3x+3=ae^x，∴a=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{-{x}^{2}-x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0得x=-1或x=0．
∴当x＜-1或x＞0时，g′（x）＜0，当-1＜x＜0时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
∴当x=-1时，g（x）取得极小值g（-1）=e，当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=3，
∵f（x）只有一个零点，∴a=g（x）只有一解．
∵$\underset{lim}{x→-∞}$g（x）=+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=0，
∴0＜a＜e或a＞3．
故答案为（0，e）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了函数单调性，极值与零点个数的关系，函数单调性的判断，属于中档题．