Question

9．已知函数$y=3sin（2x+\frac{π}{4}），x∈[0，π]$
（1）求函数的单调区间
（2）求使函数取得最大值、最小值时的自变量x的值，并分别写出最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最大值、最小值，以及此时的自变量x的值．

解答 解：（1）对于函数 y=3sin（2x+$\frac{π}{4}$ ），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
再结合x∈[0，π]，可得函数的增区间为[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z；再结合x∈[0，π]，可得函数的减区间为[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．
（2）∵函数 y=3sin（2x+$\frac{π}{4}$ ），x∈[0，π]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{π}{8}$，可得函数的最大值为3；
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，求得x=$\frac{5π}{8}$，可得函数的最小值为-3．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．