Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边的边长分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（1）求角B；
（2）若b=2，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由（2c-a）cosB-bcosA=0，利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）由正弦定理、和差公式可得：a+c=4$sin（A+\frac{π}{6}）$，再利用A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（2c-a）cosB-bcosA=0，由正弦定理可得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0．
∴2sinCcosB-sin（B+A）=0，即2sinCcosB-sinC=0，
∵sinC≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理可得：a+c=$\frac{bsinA}{sinB}$+$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$（sinA+sinC）=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A））=$\frac{4}{\sqrt{3}}$$（\frac{3}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA）$=4$sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴（A+$\frac{π}{6}$）∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，∴$sin（A+\frac{π}{3}）$∈（$\frac{1}{2}$，1]．
∴4$sin（A+\frac{π}{6}）$∈（2，4]．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．