Question

如果存在一个非零常数T，使得定义在R上的函数y=f（x）满足f（x-T）=Tf（x）对任意实数x恒成立，则称函数f（x）为“T周转函数”，现有如下命题：
①当T=-1时，T周转函数f（x）是以2为周期的周期函数；
②函数f（x）=x一定是一个T周转函数；
③函数f（x）=sinπx一定是一个T周转函数；
④若f（x）为一个2周转函数，且x∈[0，2]，f（x）=1-|x-1|，则函数F（x）=xf（x）-1的零点的个数为5．
其中的真命题有

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,新定义,数形结合,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由新定义可得f（x+1）=-f（x），再将x换成x+1，即可判断①；根据新定义，即可判断②；
考虑T=1，T=-1，由新定义，即可判断③；函数F（x）=xf（x）-1的零点个数等于函数y=f（x）与函数y=

1

x

图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象，通过图象观察，即可判断④．

解答： 解：对于①，当T=-1时，f（x+1）=-f（x），
即有f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
T周转函数f（x）是以2为周期的周期函数，则①对；
对于②，f（x）=x，f（x-T）=x-T，Tf（x）=xT，
f（x-T）=Tf（x）对任意实数x不成立．则②错；
对于③，函数f（x）=sinπx，f（x-T）=sinπ（x-T），Tf（x）=Tsinπx，
当T=-1时，f（x+1）=-sinπx=-f（x）=-sinπx，
当T=1时，f（x-1）=sinπ（x-1）=-sinπx≠f（x），则③错；
对于④，f（x）为一个2周转函数，且x∈[0，2]，f（x）=1-|x-1|，则f（x-2）=2f（x），
则函数F（x）=xf（x）-1的零点个数等于函数y=f（x）与函数y=

1

x

图象交点的个数，
在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示：
由图可知函数y=f（x）与函数y=

1

x

图象共有6个交点，则④对．
故答案为：①④

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题．