Question

9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且2acosC=2b-c．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围；
（3）若$a=2\sqrt{3}$，且△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，求cos2B+cos2C的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理和夹角公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，即可求出A的大小，
（2）求出角B的范围，再根据sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质即可求出范文，
（3）由余弦定理和三角形的面积公式求出b，c的值，再根据正弦定理即可求出B，C的值，问题得以解决

解答 解：（1）由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∵2acosC=2b-c，
∴2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2b-c，
即b²+c²-a²=ab，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
（2）∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜B，C＜$\frac{π}{2}$，
∵C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∵sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴sinB+sinC的取值范围为（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，
（3）在△ABC中，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即12=b²+c²-bc   ①，
∵△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
即bc=8，②，
由①②可得b=2，c=4，或b=4，c=2，
不放设b=2，c=4，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，sinC=1，
∴B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{2}$，
∴cos2B+cos2C=cos$\frac{π}{3}$+cosπ=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了正弦定理余弦定理和三角形的面积公式以及三角函数的性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题