Question

已知O为坐标原点，P₁、P₂是双曲线

x2

9

-

y2

4

=1上的点．P是线段P₁P₂的中点，直线OP、P₁P₂的斜率分别为k₁、k₂，若2≤k₁≤4，则k₂的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  3

  ，

  2

  3

  ]
• B、[

  1

  9

  ，

  2

  9

  ]
• C、[

  1

  3

  ，

  4

  9

  ]
• D、[

  4

  9

  ，

  2

  3

  ]

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段P₁P₂的中点为P，2≤k₁≤4，即可k₂的取值范围．

解答： 解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
∵4x₁²-9y₁²=36，4x₂²-9y₂²=36
两式相减可得：4（x₁-x₂）×2x-9（y₁-y₂）×2y=0
∴

y1-y2

x1-x2

•

y

x

=

4

9

，
∵直线OP的斜率为k₁=

y

x

（k₁≠0），直线P₁P₂的斜率为k₂=

y1-y2

x1-x2

，
∴k₁k₂=

4

9

，
∵2≤k₁≤4，
∴

1

9

≤k2≤

2

9

．
故选：B．

点评：本题考查双曲线方程的性质和应用，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．