Question

当x∈[-1，2]时，不等式ax³-x²-4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  9

  8

  ，6]
• B、[2，6]
• C、[3，4]
• D、[3，5]

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：分x=0，0＜x≤2，-1≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．

解答： 解：当x=0时，不等式ax³-x²-4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤2时，ax³-x²-4x+3≥0可化为a≥

1

x

+

4

x2

-

3

x3

，
令f（x）=

1

x

+

4

x2

-

3

x3

，则f′（x）=-

1

x2

-

8

x3

+

9

x4

=-

(x+9)(x-1)

x4

（*），
当0＜x≤2时，f（x）在（0，1]上单调递增，在（1，2]单调递减，
f（x）_max=f（1）=2，∴a≥2；
当-1≤x＜0时，ax³-x²+4x+3≥0可化为a≤

1

x

+

4

x2

-

3

x3

，
由（*）式可知，当-1≤x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）_min=f（-1）=6，∴a≤6；
综上所述，实数a的取值范围是2≤a≤6，即实数a的取值范围是[2，6]．
故选：B．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．