Question

设函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列三个命题：
①b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
②c=0时，y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称．
则上述命题中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过去绝对值并解方程，奇函数的定义，以及奇函数的对称性，图象的平移即可判断每个命题的正误．

解答： 解：①根据该条件得到方程|x|x+c=0，∴|x|x=-c，所以只有x＜0时，该方程有解；
并且解为x=-

c

，即方程f（x）=0只有一个实数根，所以该命题正确；
②c=0时，f（x）=|x|x+bx，该函数的定义域为R，且显然f（-x）=-f（x）；
∴y=f（x）为奇函数，所以该命题正确；
③奇函数|x|x+bx的图象关于原点（0，0）对称，而该函数图象沿y轴向上或向下平移|c|个单位得到f（x）=|x|x+bx+c的图象，并且对称点平移到（0，c）；
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，所以该命题正确；
综上得，正确命题的序号为①②③．
故答案为：①②③．

点评：考查解含绝对值方程的解法：去绝对值，奇函数的定义，以及奇函数图象的对称性，图象平移的知识．