Question

12．若点A（1，1），B（0，a），C（2，b）（a＞0，b＞0）三点共线，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为2．

Answer 1

分析 三点共线，则斜率相等，得到a+b=2，再根据基本不等式即可求出．

解答 解：点A（1，1），B（0，a），C（2，b）（a＞0，b＞0）三点共线，
则k_AB=k_AC，
即$\frac{a-1}{0-1}$=$\frac{b-1}{2-1}$，
即a+b=2，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}$（1+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{a}$）≥1+$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2，当且仅当a=b=1时取等号，
故则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为2，
故答案为：2

点评 本题考查了三点共线的问题和基本不等式，属于基础题．