Question

18．设S_n是数列{a_n}（n∈N⁺）的前n项和，n≥2时点（a_n-1，2a_n）在直线y=2x+1上，且{a_n}的首项a₁是二次函数y=x²-2x+3的最小值，则S₉的值为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 36
• D． 32

Answer 1

分析 先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a_n}是以为2首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．

解答 解∵点（a_n-1，2a_n）在直线y=2x+1上，
∴2a_n=2a_n-1+1，
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$，
∵二次函数y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴a₁=2，
∴{a_n}是以为2首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴a_n=2+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$
当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$=2成立，
∴a_n=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$
∴S₉=9a₁+$\frac{9（9-1）d}{2}$=9×2+$\frac{9×8×\frac{1}{2}}{2}$=36
故选：C

点评 本题考查了等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，以及数列的函数特征以及二次函数的最值问题，属于中档题．