Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，PD=AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求三棱锥D-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，由已知结合余弦定理可得BD⊥AD，再由线面垂直的性质可得BD⊥PD，由线面垂直的判定得到BD⊥平面PAD．从而可得PA⊥BD；
（2）利用等体积转化，代入体积公式求得棱锥D-PBC的体积．

解答 （1）证明：∵∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．
又AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（2）解：由（1）知：AD⊥BD，∴BC⊥BD，且BC=1．
在Rt△BCD中，S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•BD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD为三棱锥P-BCD的高，且PD=1
∴V_D-PBC=V_P-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PD$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴三棱锥D-PBC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，是中档题．