Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

(1)对函数求导，分，两种情况讨论即可；

(2)先由可转化为二次不等式的恒成立问题，然后构造函数，转化为对任意的，恒成立问题，即可求解.

（1）函数的定义域为.

（i）若，则；

（ii）若，则由得，由得；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）设存在直线满足题意.

（i）由，即对任意的都成立，得，所以，

（ii）令，

，

①若，则，单调递增，，不合题意；

②若，则在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，即，

由（i）得，

即，

令，，

，所以单调递增，

又因为，所以在是单调递减，是单调递减，所以，所以.