题目内容
【题目】如图，直三棱柱
中，底面
为等腰直角三角形，
，
，
是侧棱
上的点．
（1）若
，证明：是的中点；
（2）若
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）利用勾股定理得出
，再由
可得知
为等边三角形，利用勾股定理得出
，进而可证得结论成立；
（2）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，设
，利用空间向量法可求得二面角
的余弦值．
（1）由直三棱柱
得
平面
，
、
平面，
，
，
为等腰直角三角形，
，
且
，
由勾股定理得
，
，
是等边三角形，则
，
由勾股定理得
，
为的中点；
（2）易知、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则
、
、
，
，
，
设平面
的法向量为
，由
，得
，
令
，得
，
，
，
又平面
的法向量为
，
，
由图形可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.
【题目】阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：
0项 | 1项 | 2项 | 3项 | 4项 | 5项 | 5项以上 | |
理科生（人） | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生（人） | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
（1）完成如下
列联表，并判断是否有
的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？
比较了解 | 不太了解 | 合计 | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合计 |
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.
（i）求抽取的文科生和理科生的人数；
（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用
表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.
参考数据：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，
.
