Question

10．已知函数f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，e）时，不等式$\frac{x-1}{a}$＜lnx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a＞（$\frac{x-1}{lnx}$）_max或a＜＞（$\frac{x-1}{lnx}$）_min，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x的定义域为（0，+∞）．
因为f′（x）=a（lnx+1），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$．
①当a＞0时，随着x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

即函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，随着x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

即函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递减．
（2）a＞0时，x∈（1，e），0＜lnx＜1，不等式$\frac{x-1}{a}$＜lnx恒成立，等价于a＞$\frac{x-1}{lnx}$恒成立，
令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，g′（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{x}-1}{{ln}^{2}x}$，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，x∈（1，e），
∴h（x）在（1，e）递增，h_min（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）＞0在（1，e）恒成立，
∴g（x）_max＜g（e）=e-1，
∴a≥e-1，
a＜0时，a＜$\frac{x-1}{lnx}$，∵g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，x∈（1，e），
而$\underset{lim}{x→1}$$\frac{x-1}{lnx}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1}{\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{x→1}$x=1，
∴a＜0成立，
综上，a≥e-1或a＜0．

点评 本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察函数恒成立问题，是一道中档题．