Question

12．如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=$\sqrt{2}$，SA=SC=SD=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求三棱锥B-SAD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；
（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，利用勾股定理的逆定理可证明AD⊥CD，SO⊥OD，故而SO⊥平面ABCD，代入体积公式计算即可．

解答 证明：（1）取AC中点O，连结OD，SO，
∵SA=SC，∴SO⊥AC，
∵AD=CD，∴OD⊥AC，
又∵OS?平面SOD，OD?平面SOD，OS∩OD=O，
∴AC⊥平面SOD，∵SD?平面SOD，
∴AC⊥SD．
（2）∵SA=SC=2，∠ASC=60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC=2，OS=$\sqrt{3}$，
∵AD=CD=$\sqrt{2}$，∴AD²+CD²=AC²，∴∠ADC=90°，OD=$\frac{1}{2}AC$=1．
∵SD=2，∴SO²+OD²=SD²，∴SO⊥OD，
又∵SO⊥AC，AC?平面ABCD，OD?平面ABCD，AC∩OD=O，
∴SO⊥平面ABCD，
∴V_棱锥B-SAD=V_棱锥S-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•SO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×CD×SO$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．