Question

11．设函数f（x）=（x-a）•e^x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）试求f（x）在[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当a=1时，求证：对于?x∈[-5，+∞），$f（x）+x+5≥-\frac{6}{e^5}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f（x）的最大值是f（1）或f（2），通过作差求出满足f（1）或f（2）最大时a的范围，从而求出f（x）的最大值；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证明结论即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x-a）•e^x得f'（x）=（x-a+1）•e^x．
当a=1时，f'（x）=x•e^x，令f'（x）＞0，得x＞0，
所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a-1．
所以当a-1≤1时，x∈[1，2]时f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当a-1≥2时，x∈[1，2]时f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；
当1＜a-1＜2时，x∈[1，a-1）时f'（x）≤0，f（x）单调递减；
x∈（a-1，2）时f'（x）＞0，f（x）单调递增．
综上，无论a为何值，当x∈[1，2]时，f（x）最大值都为f（1）或f（2）．
f（1）=（1-a）e，f（2）=（2-a）e²，
f（1）-f（2）=（1-a）e-（2-a）e²=（e²-e）a-（2e²-e）．
所以当$a≥\frac{{2{e^2}-e}}{{{e^2}-e}}=\frac{2e-1}{e-1}$时，f（1）-f（2）≥0，f（x）_max=f（1）=（1-a）e．
当$a＜\frac{{2{e^2}-e}}{{{e^2}-e}}=\frac{2e-1}{e-1}$时，f（1）-f（2）＜0，$f{（x）_{max}}=f（2）=（2-a）{e^2}$．…（10分）
（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'（x）=xe^x+1．
所以h''（x）=（x+1）e^x．
令h''（x）=（x+1）e^x=0，解得x=-1，
所以当x∈[-5，-1），h''（x）＜0，h'（x）单调递减；
当x∈[-1，+∞），h''（x）＞0，h'（x）单调递增．
所以当x=-1时，$h'{（x）_{min}}=h'（-1）=1-\frac{1}{e}＞0$．
所以函数h（x）在[-5，+∞）单调递增．
所以$h（x）≥h（-5）=-\frac{6}{e^5}-5$．
所以?x∈[-5，+∞），$f（x）+x+5≥-\frac{6}{e^5}$恒成立．         …（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查计算能力，是一道综合题．