Question

3．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a≠0）在$x=\frac{π}{4}$处取得最小值，则函数$f（\frac{3π}{4}-x）$是（　　）

• A． 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 偶函数且它的图象关于点$（\frac{3π}{2}，0）$对称
• C． 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
• D． 奇函数且它的图象关于点$（\frac{3π}{2}，0）$对称

Answer 1

分析 由题意可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，即有b=a，故f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）．求得f（$\frac{3π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asinx，再利用正弦函数的性质得出结论．

解答 解：函数f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ）（a≠0）的周期为2π，
在$x=\frac{π}{4}$处取得最小值，
故有-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，即有b=a，∴f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）．
则f（$\frac{3π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asin（π-x）=$\sqrt{2}$asinx．
则函数y=f（$\frac{3π}{4}$-x）为奇函数，对称中心为（kπ，0），k∈Z，
故选：C．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的最值和奇偶性和对称性，考查两角和的正弦公式，属于中档题．