Question

17．已知函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）（ω＞0）$的最小正周期为4π，则（　　）

• A． 函数f（x）的图象关于原点对称
• B． 函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称
• C． 函数f（x）图象上的所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度后，所得的图象关于原点对称
• D． 函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

Answer 1

分析 函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）（ω＞0）$的最小正周期为4π，求出ω，可得f（x）解析式，对各选项进行判断即可

解答 解：函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）（ω＞0）$的最小正周期为4π，
∴$\frac{2π}{ω}=4π$，
可得ω=$\frac{1}{2}$．
那么f（x）=sin（$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$）．
由对称中心横坐标方程：$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，
可得：x=2kπ$-\frac{π}{3}$
∴A不对；
由对称轴方程：$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
可得：x=2k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴B不对；
函数f（x）图象上的所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位，可得：sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{3}$）$+\frac{π}{6}$]=sin2x，图象关于原点对称．
∴C对．
令$-\frac{π}{2}+2kπ$≤$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得：$-\frac{4π}{3}+4kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}+4kπ$
∴函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增．
∴D不对；
故选C

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．