Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），对于正数x₁，x₂，…，x_n（n∈N₊），记S_n=x₁+x₂+…+x_n，如图，由点（0，0），（x_i，0），（x_i，f（x_i）），（0，f（x_i））构成的矩形的周长为C_i（i=1，2，…，n），都满足C_i=4S_i（i=1，2，…，n）．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）猜想x_n的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用矩形的周长公式计算可知$2{S_i}={x_i}+\frac{1}{x_i}$（i=1，2，…，n），进而令i=1计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I），分别令i=2、i=3，计算可知${x_2}=\sqrt{2}-1$、${x_3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，进而由此猜想${x_n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（n∈N₊），然后利用数学归纳法证明即可．

解答 （Ⅰ）解：由题意知，${C_i}=2（{x_i}+f（{x_i}））=2（{x_i}+\frac{1}{x_i}）$（i=1，2，…，n），
又因为C_i=4S_i（i=1，2，…，n），
所以$2{S_i}={x_i}+\frac{1}{x_i}$（i=1，2，…，n）．---------------------------------------（1分）
令i=1，得$2{S_1}={x_1}+\frac{1}{x_1}$，
又S₁=x₁，且x₁＞0，故x₁=1．-------------------------------------（2分）
（Ⅱ）解：令i=2，得$2{S_2}={x_2}+\frac{1}{x_2}$，
又S₂=x₁+x₂，x₁=1，且x₂＞0，故${x_2}=\sqrt{2}-1$；------------------------------------（3分）
令i=3，得$2{S_3}={x_3}+\frac{1}{x_3}$，
又S₃=x₁+x₂+x₃，x₁=1，${x_2}=\sqrt{2}-1$，且x₃＞0，故${x_3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；----------（4分）
由此猜想，${x_n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（n∈N₊）．----------------------------（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，x₁=1，命题成立；-----------------------------------（6分）
②假设n=k时命题成立，即${x_k}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$（k∈N₊），-----------------------------（7分）
则当n=k+1时，$2{S_{k+1}}={x_{k+1}}+\frac{1}{{{x_{k+1}}}}$，又S_k+1=S_k+x_k+1，$2{S_k}={x_k}+\frac{1}{x_k}$，
故$（{x_k}+\frac{1}{x_k}）+2{x_{k+1}}={x_{k+1}}+\frac{1}{{{x_{k+1}}}}$，
由${x_k}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，得$x_{k+1}^2+2\sqrt{k}{x_{k+1}}-1=0$，--------------------------------------（8分）
所以${x_{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$（$-\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$舍去）．-------------------------------------------（9分）
即当n=k+1时命题成立．
综上所述，对任意自然数n，都有${x_n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$成立．--------------------------------（10分）

点评 本题考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．