Question

10．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA₁和CC₁的中点，且BE⊥B₁F．
（Ⅰ）求证B₁F⊥平面BEC₁；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-BEC₁的体积．

Answer 1

分析 （I）分别取BC₁，BC中点D，G，连结DE，AG，DG，则可证四边形AGDE是平行四边形，AG⊥平面BCC₁B₁，于是AG⊥B₁F，从而DE⊥B₁F，结合BE⊥B₁F得出B₁F⊥平面BEC₁；
（II）由B₁F⊥平面BEC₁得出B₁F⊥BC₁，从而Rt△B₁C₁F∽Rt△BB₁C₁，根据相似比求出BB₁，于是V${\;}_{{B}_{1}-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{E-B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△B{B}_{1}C}$•AG．

解答 证明：（Ⅰ）分别取BC₁，BC中点D，G，连结DE，AG，DG，
∵D，G分别是BC₁，BC的中点，
∴DG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CC₁，又AE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CC₁，
∴四边形AGDE是平行四边形，
∴DE∥AG．
∵△ABC是等边三角形，G是BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABC，AG?平面ABC，
∴AG⊥BB₁，又BB₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，BB₁∩BC=B，
∴AG⊥平面BCC₁B₁，∵B₁F?平面BCC₁B₁，
∴AG⊥B₁F，又∵DE∥AG．
∴DE⊥B₁F，又B₁F⊥BE，BE?平面BEC₁，DE?平面BEC₁，BE∩DE=E，
∴B₁F⊥平面BEC₁．
（Ⅱ）∵B₁F⊥平面BEC₁．BC₁?平面BEC₁，
∴B₁F⊥BC₁，∴Rt△B₁C₁F∽Rt△BB₁C₁，∴$\frac{B{B}_{1}}{{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{C}_{1}F}$，
设BB₁=a，则C₁F=$\frac{a}{2}$，∴$\frac{a}{2}=\frac{2}{\frac{a}{2}}$，解得a=2$\sqrt{2}$．
∵G是BC的中点，∴AG=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{{B}_{1}-BE{C}_{1}}$=V${\;}_{E-B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△B{B}_{1}C}$•AG=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，在平面BEC₁内构造B₁F的垂线DE是解题关键．属于中档题．