Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中实数a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），a＞0，由f′（x）＞0，得x＜-a，x＞

a

3

．由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）g（x）对称轴为x=

1

a

，当a＞0时，a≥

a

3

且a≥

1

a

；当a＜0时，a+2≤

a

3

且a+2≤

1

a

．由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）由已知条件知（a²-2））=0只有一个实根，二次函数y=g（x）有最小值，由此能求出h（a）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-a²x+1，
∴f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
∵a＞0，∴由f′（x）＞0，得x＜-a，x＞

a

3

．
∴f（x）的递减区间为(-a，

a

3

)；
递增区间为(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)…（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=ax²-2x+1=a（x-

1

a

）²-

1

a

+1，
∴对称轴为x=

1

a

，
当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）的递增区间为(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)，
∵g（x）在(

1

a

，+∞)递增，
依题意(a，a+2)⊆(

a

3

，+∞)，
且（a，a+2）⊆（

1

a

，+∞），∴a≥

a

3

且a≥

1

a

，解得a≥1．…（6分）
当a＜0时，f（x）的递增区间为(-∞，

a

3

)，(-a，+∞)，
g（x）在(-∞，

1

a

)递增，
依题意(a，a+2)⊆(-∞，

a

3

)且（a，a+2）⊆（-∞，

1

a

），
∴a+2≤

a

3

且a+2≤

1

a

，解得a≤-3．
∴实数a的取值范围为a≤-3或a≥1．（8分）
（Ⅲ）由函数y=f（x），y=g（x）关于x方程：x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，
即（a²-2））=0只有一个实根，
∴a²-2≤0，解得-

2

≤a≤

2

．
二次函数y=g（x）存在最小值，
∴a＞0，∴0＜a≤

2

…（10分）
∵g（x）=ax²-2x+1=a（x-

1

a

）²-

1

a

+1，
∴h(a)=1-

1

a

，∴h（a）的值域为(-∞，1-

2

2

]．…（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．