题目内容
已知x＞0，y＞0，z＞0，x+2y+3z=3，那么（x+
）2+（2y+
）2+（3z+
）2的最小值为 ．
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 1 |
| 2x |
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：两次利用柯西不等式即可得出．
解答：
解：∵x＞0，y＞0，z＞0，x+2y+3z=3，
∴（1+1+1）[（x+
）2+（2y+
）2+（3z+
）2]≥[(x+
)+(2y+
)+(3z+
)]2=(3+
+
+
)2，
∴（x+
）2+（2y+
）2+（3z+
）2≥
(3+
+
+
)2．①
同理有(2x+4y+6z)(
+
+
)≥（1+1+1）2，∴
+
+
≥
．②
由①②可得：（x+
）2+（2y+
）2+（3z+
）2≥
(3+
)2=
．当且仅当x=2y=3z=1时取等号．
∴（x+
）2+（2y+
）2+（3z+
）2的最小值
．
故答案为：
．
∴（1+1+1）[（x+
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
∴（x+
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
同理有(2x+4y+6z)(
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 3 |
| 2 |
由①②可得：（x+
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 27 |
| 4 |
∴（x+
| 1 |
| 4y |
| 1 |
| 6z |
| 1 |
| 2x |
| 27 |
| 4 |
故答案为：
| 27 |
| 4 |
点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理能力和计算能力，正确变形利用柯西不等式是解题的关键，属于难题．
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