Question

8．已知△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{2}$，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量$\overrightarrow m=（sinA-sinC，b-a）$，$\overrightarrow n=（sinA+sinC，\frac{{\sqrt{2}}}{4}sinB）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
（I）求角C；
（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （I）根据$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；
（II）根据△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．

解答 解：向量$\overrightarrow m=（sinA-sinC，b-a）$，$\overrightarrow n=（sinA+sinC，\frac{{\sqrt{2}}}{4}sinB）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
（I）∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
∴sin²A-sin²C=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（a-b）sinB．
由正弦定理可得：sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
∴a²-c²=（a-b）b．
由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC，
∵C=$\frac{π}{3}$，R=$\sqrt{2}$，
∴c=2RsinC=$\sqrt{6}$．
由余弦定理：得a²+b²=6+ab．
∵a²+b²≥2ab，（当且仅当a=b是取等）
∴ab≤6．
故得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC$≤\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∵C=$\frac{π}{3}$，a=b．
此时△ABC为等边三角形．

点评 本题考查了向量垂直的计算和正余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．