Question

18．如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．
（1）求证：直线MF∥平面ABCD
（2）求证：MF⊥平面ACC₁．

Answer 1

分析 （1）取AC，BD的交点记为O．连接MO，由三角形的中位线的性质可得MF∥BO，从而证明MF∥平面ABCD．
（2）由直四棱柱性质得CC₁⊥平面ABCD，从而CC₁⊥BD，由菱形性质、全等三角形的判定与性质推知AF=C₁F，结合等于三角形的性质得到：MF⊥AC₁．易证得结论．

解答 （1）证明：取AC，BD的交点记为O．连接MO．
则$MO\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}\frac{1}{2}C{C_1}$，又$BF\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}\frac{1}{2}C{C_1}$，故$MO\begin{array}{l}{∥}\\=\end{array}BF$，
则四边形MOBF为平行四边形，
故MF∥BO，
又MF?面ABCD，BO?面ABCD，
故直线MF∥平面ABCD；
（2）证明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
则CC₁⊥平面ABCD，BD?面ABCD，则BD⊥CC₁，
又BD∥MF，故MF⊥CC₁，
在Rt△ABF和Rt△B₁C₁F中，
∵F为棱BB₁中点，故B₁F=BF，
又AB=B₁C₁，则Rt△ABF≌Rt△B₁C₁F，
所以AF=C₁F，结合M为线段AC₁的中点，
得MF为等腰三角形AFC₁底边AC₁的中线，故MF⊥AC₁．
又CC₁?平面ACC₁，AC₁?平面ACC₁，CC₁∩AC₁=C₁，
故MF⊥平面ACC₁．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．