Question

17．已知函数f（x）=log₂（x²-ax+4）．
（1）若f（1）=2，求f（4a）；
（2）若x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（3）函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值之差为1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=2，求出a的值，再计算f（4a），
（2）求出g（x）=x²-ax+4在[0，2]上的最小值，令g_min（x）＞0求出a的范围；
（3）求出f（x）在[0，2]的最值，列方程解出a．

解答 解：（1）∵f（1）=log₂（5-a）=2，∴a=1，∴f（x）=log₂（x²-x+4），f（4a）=f（4）=log₂16=4．
（2）令g（x）=x²-ax+4，则g（x）的图象开口向上，图象的对称轴为x=$\frac{a}{2}$．
①若$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0时，g（x）在[0，2]上是增函数，g_min（x）=g（0）=4＞0，符合题意．
②若$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4时，g（x）在[0，2]上是减函数，g_min（x）=g（2）=8-2a，
令8-2a＞0，不等式无解．
③若0＜$\frac{a}{2}$＜2，即0＜a＜4时，g（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上是减函数，在（$\frac{a}{2}$，2]上是增函数，g_min（x）=g（$\frac{a}{2}$）=4-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
令4-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞0，解得0＜a＜4．
综上，a的取值范围是（-∞，4）．
（3）∵函数f（x）在区间[0，2]上有意义，由（2）可知，a＜4．
①若a≤0，则g（x）在[0，2]上是增函数，g_max（x）=g（2）=8-2a，
∴f_max（x）=log₂（8-2a），f_min（x）=log₂4=2，∴log₂（8-2a）-2=1．解得a=0．
②若0＜a＜4，当0＜$\frac{a}{2}$≤1，即0＜a≤2时，g_max（x）=g（2）=8-2a，
∴f_max（x）=log₂（8-2a），f_min（x）=log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$），∴log₂（8-2a）-log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$）=1，方程无解．
当1＜$\frac{a}{2}$＜2，即2＜a＜4时，g_max（x）=g（0）=4．
∴f_max（x）=log₂4，f_min（x）=log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$），∴log₂4-log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$）=1，解得a=2$\sqrt{2}$．
综上，a=0或a=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了对数函数的性质，复合函数的单调性与最值，分类讨论的思想方法，属于中档题．