Question

若

x-5

≠kx+2对一切x≥5都成立，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：数形结合

分析：分别作出不等式两边所对应的函数的图象，由图象可知k=0不满足题意，k＜0时直线y=kx+2的斜率应小于过两点（5，0）和（0，2）的直线的斜率，k＞0时联立直线和抛物线方程，由判别式小于0得答案．

解答： 解：令y=

x-5

，得y²=x-5（y≥0），
∴函数y=

x-5

的图象如图，

又函数y=kx+2恒过定点（0，2），
k=0时显然不满足题意；
∴当k＜0时，要使

x-5

≠kx+2对一切x≥5都成立，则k＜-

2

5

；
当k＞0时，联立

y2=x-5 y=kx+2

，得k²x²+（4k-1）x+9=0（x≥5）．
由△=（4k-1）²-36k²＜0，得k＜-

1

2

（舍），或k＞

1

10

．
综上，实数k的取值范围是，k＜-

2

5

或k＞

1

10

．
故答案为：k＜-

2

5

或k＞

1

10

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．