Question

当a≥0，求函数f（x）=（sinx+a）（cosx+a）的最大值、最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：把给出的函数解析式展开，得到y=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²．令t=sinx+cosx换元，得到
y=

t2-1

2

+at+a2=

1

2

[(t+a)2+a2-1]．然后分对称轴-a＞-

2

，-a≤-

2

结合二次函数的单调性求得函数的最大最小值．

解答： 解：f（x）=（sinx+a）（cosx+a）
=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²．
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
则sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

t2-1

2

+at+a2=

1

2

[(t+a)2+a2-1]．
对称轴方程为t=-a≤0，
当-a＞-

2

，即a＜

2

时，y在[-

2

，a]上为减函数，在（a，

2

]上为增函数，
∴ymin=

a2-1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

；
当-a≤-

2

，即a≥

2

时，y在[-

2

，

2

]上为增函数，
∴ymin=a2-

2

a+

1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

．
综上，当0＜a＜

2

时，ymin=

a2-1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

；
当a≥

2

时，ymin=a2-

2

a+

1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

．

点评：本题考查了与三角函数有关的函数最值的求法，考查了换元法，训练了利用分类讨论的方法求二次函数的最值，是中档题．