Question

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，点I为△PF₁F₂的内心，有关下列命题：
①若S△PF1F2=3

3

，则∠F₁PF₂=

2π

3

；
②若离心率为

5

4

，且|S △IPF1-S △IPF2|=λS △IF1F2，则λ=

4

5

③若离心率为

5

4

，则点I的横坐标x₁满足：|x₁|=4
④若点I的横坐标x₁满足：|x₁|=3，则双曲线的半焦距c=3

2

，
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用双曲线的定义和余弦定理、面积公式，结合二倍角公式即可判断①；
运用双曲线的定义和三角形的面积公式，计算即可判断②；
运用离心率公式和a，b，c的关系，求得a=4，再由圆的切线性质，计算即可判断③；
由③的结论，结合a，b，c的关系，即可判断④．

解答： 解：对于①，不妨设点P在双曲线的右支上，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n则有m-n=2a，
由于∠F₁PF₂=θ，由余弦定理得m²+n²-2mncosθ=4c²，
∵S△PF1F2=3

3

，∴

1

2

mnsinθ=3

3

，
∵c²-a²=9，则可得，

1-cosθ

sinθ

=

3

，由二倍角公式可得tan

θ

2

=

3

，
则

θ

2

=

π

3

，即∠F₁PF₂=

2π

3

，则①对；
对于②，设△PF₁F₂的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
S_△IPF1 =

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△I F₁F₂=

1

2

•2c•r=cr，
由题意得

1

2

|PF₁|•r=

1

2

|PF₂|•r+λcr，故 λ=

|PF1|-|PF2|

2c

=

a

c

=

1

e

=

4

5

，
则②对；
对于③，若离心率为

5

4

，则c=

5

4

a，由c²-a²=9，解得a=4，
设边PF₁、PF₂、F₁F₂上的切点分别为M、N、D，易见I、D横坐标相等，
|PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2a，
即：|PM|+|MF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2a，得|MF₁|-|NF₂|=2，即|F₁D|-|F₂D|=2a，
记I的横坐标为x₁，则D（x₁，0），于是：x₁+c-（c-x₁）=2a，
得x₁=4，则③对；
对于④，由③可得a=3，又b=3，则c=3

2

．则④对．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查双曲线的定义和方程及性质，考查三角形的余弦定理和面积公式，考查圆的切线的性质，考查运算能力，属于中档题．