Question

8．如图，设抛物线C₁：y²=-4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F₂，F₁为C₂的左焦点．椭圆的离心率为e=$\frac{1}{2}$，抛物线C₁与椭圆C₂交于x轴上方一点P，连接PF₁并延长其交C₁于点Q，M为C₁上一动点，且在P，Q之间移动．
（1）当$\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}}{b}$取最小值时，求C₁和C₂的方程；
（2）若△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．

Answer 1

分析 （1）用m表示出a，b，根据基本不等式得出m的值，从而得出C₁和C₂的方程；
（2）用m表示出椭圆方程，联立方程组得出P点坐标，计算出△PF₁F₂的三边关于m的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值，即可求得直线MP的方程．

解答 解：（1）因为c=m，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2m，b=$\sqrt{3}$m，所以$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{b}$取最小值时m=1，
抛物线C₁：y²=-4x，此时a=2，b²=3，
所以椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）因为c=m，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2m，b=$\sqrt{3}$m，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}}=1$，
设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}}=1}\\{{y}^{2}=-4mx}\end{array}\right.$，整理得3x²-16mx-12m²=0，解得x₀=-$\frac{2}{3}$m或x₀=6m（舍去），
代入抛物线方程得y₀=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$m，即P（-$\frac{2}{3}$m，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$m），
于是|PF₁|=$\frac{5m}{3}$，|PF₂|=2a-|PF₁|=$\frac{7m}{3}$，|F₁F₂|=2m=$\frac{6m}{3}$，
又△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．
∴抛物线方程为y²=-12x，F₁（-3，0），P（-2，2$\sqrt{6}$），
∴直线PQ的方程为y=2$\sqrt{6}$（x+3）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{6}（x+3）}\\{{y}^{2}=-12x}\end{array}\right.$，得x₁=-$\frac{9}{2}$或x₁=-2（舍去），于是Q（-$\frac{9}{2}$，-3$\sqrt{6}$）．
∴|PQ|=$\sqrt{（-2+\frac{9}{2}）^{2}+（2\sqrt{6}+3\sqrt{6}）^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
设M（-$\frac{{t}^{2}}{12}$，t）（t∈（-3$\sqrt{6}$，2$\sqrt{6}$））到直线PQ的距离为d，则d=$\frac{\sqrt{6}}{30}$×|（t+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²-$\frac{75}{2}$|，
∴当t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，d_max=$\frac{\sqrt{6}}{30}$×$\frac{75}{2}$=$\frac{5\sqrt{6}}{4}$，
∴△MPQ的面积最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{2}$×$\frac{5\sqrt{6}}{4}$=$\frac{125\sqrt{6}}{16}$．
此时M（-$\frac{1}{8}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴直线MP的方程为y=-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆及抛物线的性质，直线与椭圆的位置关系，考查二次函数的性质的应用，考查转化思想，属于中档题．