Question

20．在△ABC中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2sin²B+3sin²C=2sinAsinBsinC+sin²A，则tanA=-1．

Answer 1

分析 由正弦定理，得：2b²+3c²=2bcsinA+a²，由余弦定理得sinA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}+2{c}^{2}}{2bc}$=$cosA+\frac{b}{2c}+\frac{c}{b}$，从而$\sqrt{2}sin（A-\frac{π}{4}）$=$\frac{b}{2c}+\frac{c}{b}$≥$2\sqrt{\frac{b}{2c}•\frac{c}{b}}$=$\sqrt{2}$，当且仅当sin（A-$\frac{π}{4}$）=1时，成立，进而求出A=$\frac{3π}{4}$，由此能求出tanA．

解答 解：由正弦定理，得：2b²+3c²=2bcsinA+a²，
∴sinA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}+2{c}^{2}}{2bc}$
=$cosA+\frac{b}{2c}+\frac{c}{b}$，
∴sinA-cosA=$\frac{b}{2c}+\frac{c}{b}$，
∴$\sqrt{2}sin（A-\frac{π}{4}）$=$\frac{b}{2c}+\frac{c}{b}$≥$2\sqrt{\frac{b}{2c}•\frac{c}{b}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当sin（A-$\frac{π}{4}$）=1时，等号成立，
∵A∈（0，π），∴A-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴A=$\frac{3π}{4}$，
∴tanA=tan$\frac{3π}{4}$=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查三角形内角的正切值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．