Question

3．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，M为AA₁的中点，连接BD，MB，MD，MC₁．
（1）求证：A₁C∥平面BDM；
（2）求证：BD⊥MC₁．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交BD于点O，连接OM，证明OM∥A₁C，即可证明A₁C∥平面BDM；
（2）证明AA₁⊥BD，AC⊥BD，得出BD⊥平面ACC₁A₁，从而证明BD⊥MC₁．

解答 解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OM，如图所示；

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
又M为AA₁的中点，
∴OM∥A₁C，又A₁C?平面BDM，OM?平面BDM，
∴A₁C∥平面BDM；
（2）证明：由AA₁⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
且AC∩AA₁=A，AC?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
又MC₁?平面ACC₁A₁，∴BD⊥MC₁．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与证明能力，是中档题．