Question

9．已知f（x）=（1+3x）（1-x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶．
（Ⅰ）求a₀+$\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{2^2}{a_{2}}+…+\frac{1}{2^6}{a_6}$；
（Ⅱ）求a₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在所给的等式中，令x=$\frac{1}{2}$，可求得a₀+$\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{2^2}{a_{2}}+…+\frac{1}{2^6}{a_6}$的值．
（Ⅱ）利用二项展开式的通项公式，求得求a₂的值．

解答 解：（Ⅰ）∵知f（x）=（1+3x）（1-x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶ ，
令$x=\frac{1}{2}$，
可得$（{1+3×\frac{1}{2}}）{（{1-\frac{1}{2}}）^5}={a_0}+\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{2^2}{a_2}+…+\frac{1}{2^6}{a_6}$，
∴${a_0}+\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{2^2}{a_2}+…+\frac{1}{2^6}{a_6}=\frac{5}{64}$．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，可得展开式中含x²的项为：
$c_5^2{（{-x}）^2}+3xc_5^1{（{-x}）^1}=（{10-15}）{x^2}=-5{x^2}$，∴a₂=-5．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用问题，考查了赋值法求展开式的系数和，考查了二项展开式的通项公式问题，考查了运算能力与分类讨论思想，是基础题目．