Question

5．平面A₁B₁C₁∥平面ABC，A₁A⊥平面ABC，A₁A∥B₁B∥C₁C，AB=BC=AC=AA₁=4，求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．（要求用几何和向量两种方法计算，并有规范的计算过程）
几何方法：arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$
向量方法：arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 几何法：取A₁B₁的中点P，连接C₁P，BP，则C₁BP是BC₁与平面ABB₁A₁所成的角，结合三角形的边角关系进行求解即可．
向量法：取AB的中点O，取A₁B₁的中点P，建立以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出平面的法向量，进行求解即可．

解答 解：几何法：取A₁B₁的中点P，连接C₁P，BP，
由条件知该几何体为正三棱柱，
则C₁P⊥平面ABB₁A₁，
则∠C₁BP是BC₁与平面ABB₁A₁所成的角，
∵AB=BC=AC=AA₁=4，
∴C₁P=2$\sqrt{3}$，BC₁=4$\sqrt{2}$，
则sin∠C₁BP=$\frac{{C}_{1}P}{B{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
则∠C₁BP=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
向量法：取AB的中点O，取A₁B₁的中点P，
由条件知该几何体为正三棱柱，
则OC⊥AB，
建立以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=BC=AC=AA₁=4，∴OC=2$\sqrt{3}$，
则B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），C₁（0，2$\sqrt{3}$，4），
由正三棱柱的性质得OC⊥平面ABB₁A₁，
则平面ABB₁A₁，的法向量为$\overrightarrow{OC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，2$\sqrt{3}$，4），
设BC₁与平面ABB₁A₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=$\frac{2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{4+12+16}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即θ=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查线面角的求解，利用线面的定义以及向量法都可以进行求解，要根据条件进行合理的选择．