Question

20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）在曲线C上求一点D，使它到直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t为参数）的距离最短，并求出最短距离．

Answer 1

分析 （1）把已知极坐标方程两边同时乘以ρ，结合ρ=x²+y²，y=ρsinθ得答案；
（2）化直线的参数方程为普通方程，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式求得答案．

解答 解：（1）由ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0；
（2）由直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$，得$\sqrt{3}$x+y-5=0．
化圆x²+y²-2y=0为x²+（y-1）²=1，
则圆心坐标为（0，1），
圆心到直线$\sqrt{3}$x+y-5=0的距离为d=$\frac{|1-5|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=2．
∴D到直线的最短距离为1．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．