Question

设函数f（x）为定义在（0，+∞）的增函数，且满足f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，求f（1）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：令x=1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，则f（1）•f[f（1）+1]=1，令f（1）=t，可得f（t+1）=

1

t

令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，进一步可得则f（t+1）f[f（t+1）+

1

t+1

]=1，即f（

1

t

+

1

t+1

）=t，
再由f（1）=t，且f（x）在（0，+∞）单调递增，得方程

1

t

+

1

t+1

=1，解得f（1）．

解答： 解：令x=1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，则f（1）•f[f（1）+1]=1，
令f（1）=t，则tf（t+1）=1，
∴f（t+1）=

1

t

，
令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1，则f（t+1）f[f（t+1）+

1

t+1

]=1，
∴

1

t

f（

1

t

+

1

t+1

）=1，
∴f（

1

t

+

1

t+1

）=t，
又∵f（1）=t，且f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴

1

t

+

1

t+1

=1，
解得t=

1- 5

2

或t=

1+ 5

2

，
∴f(1)=

1- 5

2

或f(1)=

1+ 5

2

，
如果f（1）＞1，则f（1）+

1

1

＞1，
∵函数f（x）为定义在（0，+∞）的增函数，∴f（f（1）+1）＞f（1），
∴f（1）f（f（1）+1）＞f²（1）＞1，这与f（x）•f[f（x）+

1

x

]=1相矛盾，
∴f（1）≤1，
∴f(1)=

1- 5

2

．

点评：本题主要考查抽象函数的问题，多次运用所给的条件是解题的关键．