Question

如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，点E，F分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）求三棱锥P-ADE的体积；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面PBC；
（Ⅲ）若点M为线段AD中点，求证：PM∥平面AEF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得PA为三棱锥P-ADE的高，由此能求出三棱锥P-ADE的体积．
（Ⅱ）由已知得PA⊥BC，BC⊥平面PAB，BC⊥AF，由此能证明AF⊥平面PBC．
（Ⅲ）连结BM交AE于N，连结PM，FN．由已知得四边形AMEB是平行四边形，由此能证明PM∥平面AEF．

解答： （Ⅰ）解：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA为三棱锥P-ADE的高．（2分）
S△ADE=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
所以VP-ADE=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．（4分）
（Ⅱ）证明：因为PA⊥平面ABCD，
BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，
因为AF?平面PAB，所以BC⊥AF．（6分）
因为PA=AB，点F是PB的中点，所以PB⊥AF，
又因为BC∩PB=B，
所以AF⊥平面PBC．（8分）
（Ⅲ）证明：连结BM交AE于N，连结PM，FN．
因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，且AD=BC，
又M，E分别为AD，BC的中点，
所以四边形AMEB是平行四边形，
所以N为BM的中点，又因为F是PB的中点，
所以PM∥FN，（10分）
因为PM?平面AEF，NF?平面AEF，
所以PM∥平面AEF．（12分）

点评：本题考查三棱锥P-ADE的体积的求法，考查AF⊥平面PBC的证明，考查PM∥平面AEF的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．