Question

16．设{a_n}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）推导{a_n}的前n项和S_n公式；
（Ⅱ）设q≠1，证明数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$不是等比数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过q是否为1，利用错位相减法求解数列{a_n}的前n项和S_n公式；
（Ⅱ）设q≠1，求出数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的钱3项，利用等比中项，推出矛盾，说明不是等比数列．

解答 解：设{a_n}的前n项和为S_n，
当q=1时，${S_n}={a_1}+{a_1}q+…+{a_1}{q^{n-1}}=n{a_1}$；--------------------（1分）
当q≠1时，${S_n}={a_1}+{a_1}q+…+{a_1}{q^{n-1}}$．  ①
$q{S_n}={a_1}q+…+{a_1}{q^{n-1}}+{a_1}{q^n}$，②----------------（3分）
①-②得$（{1-q}）{S_n}={a_1}（{1-{q^n}}）$，所以  ${S_n}=\frac{{{a_1}（{1-{q^n}}）}}{1-q}$．----------（5分）
所以  ${S_n}=\left\{\begin{array}{l}n{a_1}，q=1\\ \frac{{{a_1}（{1-{q^n}}）}}{1-q}，q≠1.\end{array}\right.$----------------------------（7分）
（Ⅱ）证：由{a_n}是公比为q的等比数列有a₁≠0，若对任意的n∈N⁺，数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等比数列，则考虑数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前三项，有${[{\frac{{{a_1}（{1-{q^2}}）}}{1-q}}]^2}=\frac{a_1}{1}•\frac{{{a_1}（{1-{q^3}}）}}{1-q}$，--------------------（9分）
化简得  q²-2q+1=0，即（q-1）²=0，----------------（10分）
但q≠1时，（q-1）²＞0，
这一矛盾说明数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$不是等比数列．---------------------（12分）

点评 本题考查数列求和等比数列的判断与证明，考查逻辑推理能力以及计算能力．