Question

8．圆心为C的圆经过点A（0，2）和点B（2，0），且圆心C在直线l₁：2x-y-4=0上．
（Ⅰ） 求圆C的方程；
（Ⅱ） 求直线l₂：3x+4y-8=0被圆C截得的弦的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根据圆的性质或者利用待定系数法即可求圆C的方程；
（Ⅱ）根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 解法1：AB的中点为（1，1），斜率为-1，则AB的垂直平分线为y=x．…（2分）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ 2x-y-4=0\end{array}\right.$，解得圆心C的坐标为（4，4）．…（5分）
半径$r=\sqrt{{{（{4-0}）}^2}+{{（{4-2}）}^2}}=2\sqrt{5}$，所以圆C的方程为（x-4）²+（y-4）²=20．…（7分）
解法2：设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}4+2E+F=0\\ 4+2D+F=0\\ 2（{-\frac{D}{2}}）-（{-\frac{E}{2}}）-4=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-8\\ E=-8\\ F=12\end{array}\right.$，故所求圆C的方程为x²+y²-8x-8y+12=0．…（7分）
（Ⅱ）圆心到l₂的距离为$d=\frac{{|{3×4+4×4-8}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=4$．…（9分）
所以弦长的一半为$\sqrt{{r^2}-{d^2}}=\sqrt{20-16}=2$，于是直线l₂被圆C截得的弦的长度为4．…（12分）

点评 本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，考查学生的运算能力．