Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-ax-lnx（x∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上存在极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，进一步用函数的最值解决．
（2）求导后通分，得f′（x）=x-a-

1

x

=

x2-ax-1

x

，把分子构造成二次函数处理．

解答： 解：（1）f′（x）=x-a-

1

x

，且函数的定义域为（0，+∞），
∵函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，f′（x）≥0恒成立，
∴a≤x-

1

x

，x∈[1，+∞），∵x与-

1

x

在[1，+∞）都单调递增，∴x-

1

x

在[1，+∞）也单调递增，且最小值为0，
∴a≤0，实数a的取值范围为（-∞，0]．
（2）f′（x）=x-a-

1

x

=

x2-ax-1

x

，x＞0，
令t（x）=x²-ax-1，此抛物线开口向上且t（0）=-1＜0
要使函数f（x）在区间（1，2）上存在极小值x₀，
则函数f（x）在（1，x₀）递减，（x₀，2）递增，
所以

t(1)＜0 t(2)＞0

⇒0＜a＜

3

2

，
实数a的取值范围为(0，

3

2

)．

点评：本题主要考查导数的应用，在研究导数的取值情况时，通常把导数的一部分看成我们常见的函数处理．属于中档题．